Producto Escalar de dos Vectores

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Definición
Sean dos vectores libres, a→ y b→; el producto escalar de éstos se representa con el punto · y  es el número que resulta de operar:

a→ · b→ = a · b · cos φ

Siendo φ el ángulo que forman entre sí los vectores. No es necesario preocuparse por el signo de φ ya que, por trigonometría: cos α = cos (–α).
El signo del producto puede ser positivo, negativo o cero, porque depende del signo del coseno.


Propiedades
Conmutativa

• a→ · b→ = b→ · a→

Distributiva respecto de la suma

• a→ · (b→ + c→) = a→ · b→ + a→ · c→

Si m es un número real (escalar), se verifica

• m(a→ · b→) = (ma→) · b→ = (a→ · b→)m

Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0). Por tanto,

• i→ · j→  =  j→ · i→  =  i→ · k→  =  k→ · i→  =   j→ · k→  =   k→ · j→  =  0

El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo

• a→ · a→ = a · a · cos 0º = a²

Expresión Analítica
Sean los vectores a→ y b→ tal que:

• a→ = a_x i→ + a_y j→ + a_z k→
• b→ = b_x i→ + b_y j→ + b_z k→

Se puede demostrar que:

a→ · b→ = axbx + ayby + azbz

Interpretación Gráfica
De la definición, se deduce que el producto escalar de dos vectores equivale también al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre su recta directriz.

• a→ · b→ = a · b · cos φ = OP · b

Vector expresado en función de sus Componentes

Ángulo de dos Vectores - Ejemplo