Trabajo de Rotación

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Trabajo de Rotación
El trabajo en la rotación es igual al producto del momento de la fuerza exterior aplicada por el ángulo girado, en radianes.

W1 - 2 = θ2 ∫ θ1 Mo dθ = Mo (θ2 – θ1)



El trabajo realizado por un momento exterior aplicado en un sólido rígido es igual a la variación de su energía cinética de rotación.

Mo (θ2 – θ1) =
1 / 2
I ω22 –
1 / 2
I ω12



La potencia en la rotación se define: P =
dW / dt
= Mo ·
dθ / dt
= Mo · ω


Demostración

trabajo de rotación


Cuando un cuerpo adquiere una energía cinética, dicha energía debe proceder bien de otra energía o bien de un trabajo aplicado al cuerpo. La componente tangencial Ft es la componente de F que solo realiza trabajo, ya que Fn es perpendicular a la trayectoria. En un desplazamiento ds, el trabajo realizado por la fuerza F es:

dW = F→ · ds = F sen φ ds

ds = r dθ   ⇒   dW = F sen φ · r · dθ


Como F · r · sen φ es el momento de la fuerza F respecto del punto O, se obtiene para el trabajo elemental: dW = Mo dθ


Energía Cinética de Rotación Momento Angular del Sólido Rígido

Energía Cinética de Rotación

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Energía Cinética de Rotación
Energía cinética de un sólido rígido en rotación

ECrot =
1 / 2
I ω2

  • I = momento de inercia del sólido rígido respecto al eje de giro
  • ω = velocidad angular del cuerpo



Energía cinética de un sólido que se traslada y gira a la vez

ECrot =
1 / 2
m v2 +
1 / 2
I ω2

  • m = masa total del sólido rígido
  • v = velocidad de traslación = velocidad lineal del centro de masas

Esta fórmula vale para cualquier movimiento de un sólido rígido, excepto si tienes en cuenta efectos relativistas, entonces: buena suerte.


Radio de Giro Trabajo de Rotación

Radio de Giro - Ejemplos

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Radio de Giro - Ejemplos
El radio de giro de un cuerpo respecto de un eje es la distancia de un punto material cuya masa es igual a la del cuerpo y cuyo momento de inercia es igual al del cuerpo.

I = Σ (mi Ri2) = m Rg2

Rg = √
I / m



El radio de giro no debe confundirse con el radio geométrico de un sólido rígido. Veamos un par de ejemplos.

Para el cilindro macizo, el radio de giro es:

Rg = √
I / m
= √
1/2 · m R2 / m
=
R / √2


Para una esfera maciza:

Rg = √
2/5 · m R2 / m
= √
2 / 5
· R



Momento de Inercia de una Esfera Maciza Energía Cinética de Rotación

Momento de Inercia de una Esfera Maciza

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Momento de Inercia de una Esfera Maciza - Cálculo
El momento de inercia de una esfera maciza homogénea respecto de cualquier eje que pase por su centro es:

I =
2 / 5
m R2



Momento de Inercia de un Cilindro Macizo Radio de Giro

Momento de Inercia de un Cilindro Macizo - Cálculo

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Momento de Inercia de un Cilindro Macizo - Cálculo
El momento de inercia de un cilindro macizo homogéneo respecto de su eje de simetría es:

I =
1 / 2
m R2



Cálculo
momento inercia cilindro

Se toma como volumen elemental el de una capa cilíndrica de espesor dr, a una distancia r del eje de giro. El volumen es dV = 2πr · L · dr, correspondiente a una masa: dm = 2πrL · ρ · dr, y su momento de inercia: dI = r2 · dm. Entonces, el momento de inercia total del cilindro se obtiene integrando:

I = R ∫ 0 r2 · 2·π·r·L·ρ dr = 2·π·L·ρ R ∫ 0 r3 dr = 2·π·L·ρ
R4 / 4

Y como el volumen del cilindro es πR2 · L y la masa m = πR2 · L · ρ, el momento de inercia para el cilindro macizo resulta:

I =
1 / 2
m R2


Observación: este momento de inercia no depende de la longitud del cilindro, es decir, podemos variar la altura del cilindro a nuestro antojo que el momento sigue siendo el mismo. Por eso se considera equivalente con el momento de inercia de un disco.


Momento de Inercia de una Barra Momento de Inercia de una Esfera Maciza

Momento de Inercia de una Barra - Cálculo

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Momento de Inercia de una Barra - Cálculo
El momento de inercia de una barra homogénea de masa m, longitud L y sección s, respecto de un eje que pasa por el extremo perpendicular a la barra es:

I =
1 / 3
· m L2



Cálculo

momento inercia barra


A una distancia x del eje de giro se toma un elemento diferencial de volumen: dV = s · dx, con masa elemental: dm = ρ · s · dx. Entonces, el momento de inercia que le corresponde a esta masa diferencial es dI = x2 · dm. Así que el momento de inercia total de la barra se obtiene por integración:

I = L ∫ 0 x2 · ρ · s · dx = ρ · s L ∫ 0 x2 dx = ρ · s
x3 / 3
L 0 =
1 / 3
ρ s L3

Y como el volumen de la barra es s · L y la masa, m = ρ · s · L, se obtiene para el momento de inercia de la barra:

I =
1 / 3
· m L2



Eje que pasa por el centro de masas
El momento de inercia de una barra respecto a un eje que pasa por el centro de masas se puede calcular aplicando el teorema de Steiner en el resultado anterior.

I = ICM + m (
L / 2
)2


ICM = I – m
L2 / 4
=
1 / 3
m L2 –
1 / 4
m L2

ICM =
1 / 12
m L2



Teorema de Steiner Momento de Inercia de un Cilindro Macizo

Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
Enunciado
El momento de inercia de un cuerpo I respecto de un eje paralelo a cualquier otro eje que pase por el centro de masas es:

I = ICM + m · d2

teorema de steiner
  • m = masa del cuerpo
  • d = distancia entre los dos ejes paralelos
  • ICM = momento de inercia del cuerpo respecto al eje que pasa por el centro de masas




Momento de Inercia - Definición Momento de Inercia de una Barra

Momento de Inercia - Definición

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Momento de Inercia - Definición
Por definición, el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje es el siguiente sumatorio:

I = m1 · r12 + m2 · r22 + m3 · r32 + ··· = Σ (mi · ri2)

  • mi = masa de una partícula i del sólido rígido
  • ri = distancia de la partícula i al eje que se estudia el momento de inercia

momento de inercia


Esta magnitud no depende de la velocidad de giro del cuerpo, pero caracteriza las propiedades inerciales del cuerpo en rotación. Depende de cómo esté distribuida la masa respecto del eje de rotación. Las partículas que estén más lejos del eje tienen una aportación mayor que las que están más cerca. Por eso, en un sólido rígido determinado, a cada eje de rotación le puede corresponder un momento de inercia diferente.

Si tratamos al cuerpo como un sólido continuo, se suele escribir:

I =   ∫   r2 dm



Movimiento del sólido rígido en un eje fijo Teorema de Steiner

Movimiento del sólido rígido en un eje fijo

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Movimiento del sólido rígido en un eje fijo
Todas las partículas de un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo llevan, en un instante dado, la misma velocidad angular. Si se elige una partícula P que describe una circunferencia de radio R, se define la velocidad angular como:

ω =
dθ / dt
(rad/s)
  • dθ = diferencial de ángulo en radianes que se recorre en un tiempo dt

Además, la partícula P recorre un arco de circunferencia ds con una velocidad v, entonces:

dθ =
ds / R
=
v · dt / R

Lo que resulta en:

v =
dθ / dt
· R = ω · R

La expresión v = ω · R pone la velocidad lineal, o de traslación en torno al eje, en términos de la velocidad angular. Es obvio que la velocidad lineal no es la misma para todas las partículas del sólido rígido ya que depende de su distancia al eje, R.

Pero la velocidad angular tampoco es constante, porque puede aparecer una aceleración angular debida a agentes exteriores. La aceleración angular no es más que la variación de la velocidad angular en el tiempo:

α =
dω / dt
(rad/s2)

Si la aceleración angular es constante y el cuerpo parte del reposo, se puede expresar la velocidad angular así:

ω = α · t


Y si se deriva la ecuación de la velocidad lineal, v = ω · R:

dv / dt
=
dω / dt
· R   ⇒   at = α · R



Carácter vectorial
La velocidad angular tiene carácter vectorial; la dirección de dicho vector es la del eje de rotación y su sentido es el del avance del tornillo que gira con el cuerpo.

velocidad angular sólido rígido


v→ = ω→ × r→


Análogamente a las velocidades, también se puede relacionar vectorialmente las aceleraciones:

aceleración angular sólido rígido


a→t = α→ × r→



El Sólido Rígido - Definición Momento de Inercia - Definición

El Sólido Rígido - Definición

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ El Sólido Rígido - Definición
Un sólido rígido es cualquier sistema de puntos materiales que mantienen invariables sus distancias relativas.

Lo que se quiere decir es que el sólido rígido es un cuerpo cuya forma no cambia en el movimiento.
Los sólidos rígidos pueden experimentar movimientos de traslación y de rotación. El movimiento de traslación implica que todas las partículas del sólido llevan la misma velocidad v→; entonces sus trayectorias rectilíneas o curvilíneas son iguales.

traslación sólido rígido



En el movimiento de rotación las partículas del sólido rígido describen trayectorias circulares con centro en el eje de rotación, y situado en planos perpendiculares a dicho eje.
rotación sólido rígido


En un instante determinado, todas las partículas del sólido se mueven con la misma velocidad angular ω; pero la velocidad lineal o de traslación de las partículas en torno al eje aumenta con la distancia al eje. Las únicas partículas que permanecen en reposo en este movimiento son las que coinciden con el eje de rotación.

velocidad angular sólido rígido


El movimiento de rotación se caracteriza por la dirección que tiene el eje de giro y por el valor de la velocidad angular ω del sólido.


Movimiento del sólido rígido en un eje fijo

Rotación del Sólido Rígido

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido

Teorema del Momento Angular (sistema de partículas)

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Teorema del Momento Angular
El teorema del momento angular afirma que el momento total de las fuerzas externas respecto de un punto fijo es igual a la derivada respecto del tiempo del momento angular total del sistema, respecto de dicho punto:

d L→0 / dt
= M→0 ext

De acuerdo con la ecuación, el momento angular de un sistema de partícualas se conserva siempre que el momento total de las fuerzas externas sea nulo. Esto nos lleva al teorema de conservación del momento angular.


Momento Angular de un Sistema de Partículas

Momento Angular de un Sistema de Partículas

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Momento Angular de un Sistema de Partículas
El momento angular o cinético de un sistema de partículas respecto de un punto es la sumas del momento angular de cada partícula del sistema respecto de dicho punto:

L→0 = Σ L→0i = Σ (r→i × mv→i)


Análogamente a la energía cinética, podemos hallar el momento angular de un sistema de partículas respecto de un punto, si tomamos el centro de masas como referencia:

L→0 = L→0CM + L→C

  • L→0 = momento angular del sistema respecto del punto O
  • L→0CM = momento angular del centro de masas respecto del punto O
  • L→C = momento angular del sistema respecto del centro de masas



Teorema de las Áreas Teorema del Momento Angular

Teorema de las Áreas - Momento Angular

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Teorema de las Áreas
En el movimiento de un cuerpo bajo la acción de una fuerza central su momento angular es constante y, además, el vector de posición respecto del centro de la fuerza barre áreas iguales en tiempos iguales.



Segunda ley de Kepler
segunda ley de kepler


El señor Kepler observó el sistema solar y de sus resultados experimentales se convenció: el radio vector que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.


Demostración
Teniendo en cuenta la relación entre el área y el producto vectorial, calculemos el área dA barrida por el vector de posición r→ en un intervalo de tiempo dt:

área barrida


Área del paralelogramo = |r→ × dr→|

Área barrida por r→ = dA =
1 / 2
|r→ × dr→|

Por la definición de velocidad, dr→ = v→ · dt:

dA =
1 / 2
|r→ × v→ · dt|

Así que el área barrida en la unidad de tiempo (velocidad areolar) se deduce de esta última ecuación:
dA / dt
=
1 / 2
|r→ × v→|

Como L = |r→ × v→|, la velocidad areolar expresada en función del momento angular es:

dA / dt
=
1 / 2
L / m

Dado que el momento angular es constante así como la masa del objeto que está en órbita, concluímos:

La velocidad areolar de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central es constante.



Conservación del Momento Angular de una Partícula Momento Angular de un Sistema de Partículas

Conservación del Momento Angular de una Partícula

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Conservación del Momento Angular de una Partícula
Según la ecuación del teorema del momento angular:

dL→O / dt
= r→ × F→

si el momento de la fuerza resultante es nulo, el momento angular de la partícula es constante.

Un caso interesante en el que se conserva el momento angular es el de las fuerzas centrales, es decir, las fuerzas cuya línea de acción pasa por un punto fijo y cuyo módulo depende de la distancia a dicho punto. En las fuerzas centrales el momento angular respecto al centro de fuerzas es constante, porque el vector de posición y el vector fuerza se encuentra en la misma dirección (son paralelos) y, por tanto, el producto vectorial r→ × F→ es nulo.

fuerzas atractivas y repulsivas



Teorema del Momento Angular Teorema de las Áreas

Teorema del Momento Angular

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Teorema del Momento Angular
La derivada del momento angular de una partícula respecto del tiempo con relación a un punto fijo O, es igual al momento de la resultante respecto del mismo punto O.

dL→O / dt
= r→ × F→



Demostración
Hay que estudiar la derivada del momento angular respecto del tiempo, teniendo en cuenta la regla de la derivada de un producto:

dL→O / dt
=
d / dt
(r→ × p→) =
dr→ / dt
× p→ + r→ ×
dp→ / dt


dL→O / dt
= v→ × p→ + r→ × F→

El producto vectorial de v→ por p→ es nulo, ya que son paralelos. Entonces:

dL→O / dt
= r→ × F→ = M→O

El vector M→O es el momento de la fuerza resultante respecto del punto O.


Momento Angular de una Partícula Conservación del Momento Angular de una Partícula

Momento Angular de una Partícula

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Momento Angular de una Partícula
Asumamos una partícula de masa m y un punto fijo O. El momento angular o cinético de la partícula respecto del punto O es el vector que resulta del producto vectorial:

L→O = r→ × p→ = r→ × (m · v→)

  • r→ = vector de posición de la partícula
  • v→ = velocidad de la partícula
  • p→ = cantidad de movimiento de la partícula

momento angular de una partícula


Debido a la definición del producto vectorial, el momento angular es un vector perpendicular al plano formado por r→ y p→; y su sentido se deduce de la regla de la mano derecha, o del tornillo.

Esta magnitud física suele utilizarse en el estudio de movimientos circulares. Sus unidades en el Sistema Internacional son kg · m2 · s–1.


Conservación de la Energía Cinética Teorema del Momento Angular

Conservación de la Energía Cinética

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Conservación de la Energía Cinética
De acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total desarrollado sobre un sistema es igual a la variación de energía cinética que experimenta:

Wtotal = ΔEC


El trabajo total es la suma del desarrollado por las fuerzas internas más el realizado por las fuerzas externas:

Wext + Wint = ΔEC


La energía cinética de un sistema de partículas se conserva si el trabajo total desarrollado sobre el sistema es nulo.
La resultante de las fuerzas internas de un sistema es nula, pero el trabajo total desarrollado por ellas no es necesariamente nulo. Por ejemplo, en las explosiones el trabajo de las fuerzas internas es positivo: las fuerzas internas expulsan los fragmentos, porque sobre cada partícula se ejerce una fuerza interna neta en la dirección de su movimiento; el trabajo realizado por estas fuerzas internas sobre cada uno de los trozos será positivo y, por tanto, el trabajo total desarrollado por las fuerzas internas del sistema también es positivo.


Energía Cinética de un Sistema de Partículas Momento Angular de una Partícula

Energía Cinética de un Sistema de Partículas

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Energía Cinética de un Sistema de Partículas
La energía cinética de un sistema de partículas es la suma de las energías cinéticas de las partículas que lo forman:

EC = Σ (
1 / 2
· m · v2 )


La cantidad de movimiento del centro de masas de un sistema es igual a la cantidad de movimiento de todo el sistema (p→ = p→CM). Con la energía cinética no pasa lo mismo: hay que considerar tanto la energía cinética del centro de masas y la de las partículas respecto del centro de masas, que lo llamamos como energía interna (ECc).

EC = ECCM + ECc


En un sólido rígido que realiza un movimiento de traslación, las partículas están en reposo respecto del centro de masas.
Mientras que un sólido que gira alrededor de un eje que pasa por su centro de masas posee energía cinética. Puede desarrollar un trabajo gracias al movimiento de rotación.


Propiedades del Centro de Masas Conservación de la Energía Cinética

Propiedades del Centro de Masas

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Propiedades del Centro de Masas
Velocidad del centro de masas

v→CM =
dr→CM / dt
=
d / dt
(
m1 r→1 + m2 r→2 + ··· mn r→n / M
) =
1 / M
·
d / dt
( m1 r→1 + m2 r→2 + ··· mn r→n )

v→CM =
1 / M
· ( m1 v→1 + m2 v→2 + ··· mn v→n )



Cantidad de movimiento del centro de masas

p→ = p→CM = M · v→CM



Ecuación fundamental de la dinámica en el centro de masas

F→ext =
dp→ / dt
=
dp→CM / dt
=
d (M · v→CM) / dt
= M ·
dv→CM / dt
= M · a→CM

F→ext = M · a→CM



En consecuencia, aunque los movimientos individuales de las partículas de un sistema suelen ser complejos, el centro de masas permite facilitar su estudio.

Por ejemplo, el lanzamiento de un bolígrafo al aire. El bolígrafo no se comporta como una partícula, aparentemente su movimiento no tiene una trayectoria parabólica porque gira en el aire. Sin embargo el centro de masas sí se comporta como una partícula sobre la que únicamente actúa la fuerza de la gravedad, el peso total del bolígrafo. Por tanto el centro de masas describe una trayectoria parabólica en el aire.

tiro parabólico centro de masas


Para visualizarlo mejor, aquí se muestra una demostración del MIT.

Compliquémoslo más: consideremos el caso de un proyectil que se dispara oblicuamente y estalla en pleno vuelo. Los trozos se mueven en diferentes direcciones.

proyectil parabólico centro de masas


La aceleración del centro de masas continúa siendo la misma; y el centro de masas sigue describiendo la trayectoria parabólica. Aunque en la explosión actúan fuerzas internas muy intensas, como no se ejercen fuerzas externas, la explosión no modifica el movimiento del centro de masas.


Si un cuerpo en reposo estalla, el centro de masas no varía, a pesar de que los trozos salgan despedidos en diversas direcciones. Al no haber fuerzas exteriores, la aceleración del centro de masas es nula y, por tanto, dicho punto permanecerá en reposo a pesar de la explosión.


Centro de masas - Definición Energía Cinética de un Sistema de Partículas

Centro de masas - Definición

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Centro de masas - Definición
El centro de masas (CM) de un sistema de partículas es un punto cuya masa es la total del sistema y cuya posición viene dada por la expresión vectorial:

r→CM =
m1 · r→1 + m2 · r→2 + ··· + mn · r→n / m1 + m2 + ··· + mn


r→CM =
Σ (m · r→) / Σ m
=
Σ (m · r→) / M


centro de masas


Siendo r→CM el vector de posición del centro de masas del sistema en el sistema de referencia. Las coordenadas del centro de masas se deducen de la ecuación:

  • xCM =
    m1x1 + m2x2 + ··· + mnxn / m1 + m2 + ··· + mn
    =
    Σ (m · x) / M

  • yCM =
    m1y1 + m2y2 + ··· + mnyn / m1 + m2 + ··· + mn
    =
    Σ (m · y) / M

  • zCM =
    m1z1 + m2z2 + ··· + mnzn / m1 + m2 + ··· + mn
    =
    Σ (m · z) / M

De esta manera obtenemos las coordenadas (x, y, z) correspondientes a cada uno de los vectores de posición r→ de las partículas del sistema.

Si el sistema de partículas se puede considerar como un cuerpo continuo, el centro de masas se deduce descomponiendo el cuerpo en porciones de masa infinitesimales, dm, situadas en la posición r→ = xi→ + yj→ + zk→. Ahora, los sumatorios se convierten en integrales; para el vector de posición del centro de masas:

r→CM =
∫ r→ dm / ∫ dm
=
∫ r→ dm / M


xCM =
∫ x dm / M
  ;   yCM =
∫ y dm / M
  ;   zCM =
∫ z dm / M


Si el sistema tiene simetría, el centro de masas del sistema es un punto del elemento de simetría. Por ejemplo, el centro de masas de una lámina cuadrada se sitúa en el centro.


Curiosidad: el concepto de centro de masas no solo tiene aplicaciones en el campo de la Física. Se utiliza también en logística para cuando se quiere hallar, por ejemplo, la localización de un almacén de manera que minimice los costes totales de transporte...


Cantidad de movimiento de un sistema de partículas Propiedades del Centro de Masas

Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Fuerzas Exteriores y Fuerzas Interiores
Si las resultantes de las fuerzas exteriores e interiores de una partícula en un sistema se representan por Fext y Fint, respectivamente, la ecuación fundamental de la dinámica para cada una de las n partículas del sistema es:

F→ext1 + F→int1 = m1 · a→1

F→ext2 + F→int2 = m2 · a→2
···························
F→extn + F→intn = mn · a→n

Sumando todas las ecuaciones, resulta:

Σ F→ext + Σ F→int = Σ m · a→

Recordemos que la suma de todas las fuerzas interiores en un sistema es nula, y si representamos la suma de las fuerzas exteriores como Fext, entonces:

F→ext = m · a→

La resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas es igual al producto de su masa total por su aceleración (más adelante veremos que se trata de la aceleración del centro de masas, paciencia).

Es fácil deducir el principio de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de partículas: "si la resultante de las fuerzas exteriores es nula, la cantidad de movimiento del sistema se conserva".

Fext = 0  ⇒  m · a = 0  ⇒  a = 0  ⇒ 
dp / dt
= 0  ⇒  p = constante



Hay muchos casos en los que se aplica este principio, especialmente en choques y explosiones. Las fuerzas que producen estos procesos son internas, y como la resultante de las fuerzas exteriores se considera nula, la cantidad de movimiento es constante.


Fuerzas Externas y Fuerzas Internas Centro de masas - Definición

Fuerzas Externas y Fuerzas Internas

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Fuerzas Exteriores y Fuerzas Interiores
Las diversas fuerzas que actúan sobre las partículas de un sistema se clasifican en fuerzas interiores o internas y fuerzas exteriores o externas.
  • Las fuerzas internas son las que ejercen las partículas internas del sistema entre sí
  • Las fuerzas externas son las ejercidas por agentes externos al sistema.

fuerzas externas
Fuerza externa en el sistema A, B


En este sistema dos partículas se deslizan en un suelo horizontal por la acción de la fuerza horizontal F ejercida sobre el cuerpo A.

fuerzas internas y externas
Todas las fuerzas en los dos bloques


Indicando todas las fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos: FAB es la ejercida por A sobre B, mientras que FBA es la fuerza de reacción de A sobre B. ( FBA = – FAB )
Clasificando las nueve fuerzas que aparecen en el sistema, tenemos:
  • Fuerzas internas: FAB y FBA
  • Fuerzas externas: F, WA, WB, FRA, FRB, NA y NB

La ordenación de las fuerzas existentes en los sistemas en externas e internas depende de lo que se considere como sistema. Por tanto, se debe delimitar precisamente el sistema antes de clasificar las fuerzas. Por ejemplo, si se analiza el movimiento del sistema solar, la fuerza que atrae a la Tierra hacia el Sol es una fuerza interior, mientras que si se considera el movimiento de la Tierra en su órbita alrededor del Sol, dicha fuerza es exterior.

Para cada fuerza interna que actúa sobre una partícula del sistema existe, de acuerdo con la ley de acción y reacción, otra fuerza igual y de sentido contrario aplicada sobre el punto del sistema que la ejerce. En realidad, las fuerzas interiores forman un conjunto de pares de fuerzas iguales, pero de sentido contrario, cuya suma el sistema es nula.

atracción de tres partículas
Fuerzas internas de atracción en un sistema de tres partículas



Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

Dinámica de los Sistemas de Partículas

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas

Dinámica de Traslación y dinámica de Rotación

Física ⇒ Dinámica de la Rotación ⇒ Dinámica de traslación y dinámica de rotación
Si aplicamos una fuerza a un sólido rígido (que no experimenta deformación alguna), podemos producir en él un movimiento de traslación. Todas las partículas del cuerpo experimentarán desplazamientos equivalentes, la Dinámica de traslación describe las magnitudes y las leyes referentes a dicho movimiento.


dinámica de traslación


Supongamos una situación distinta: el sólido rígido posee un eje fijo que le impide la traslación, pero le permite el movimiento de rotación sobre sí mismo cuando se la aplica adecuadamente una fuerza. En el giro, cada partícula del sólido sigue una trayectoria circular alrededor del eje fijo, en un plano perpendicular a éste. La Dinámica de rotación trata de las magnitudes y leyes propias de este movimiento.


dinámica de rotación



En la práctica se puede estudiar el movimiento de un cuerpo combinando ambos tipos de movimiento: traslación y rotación. Pero es recomendable conocerlos por separado.

Dinámica de la Rotación

Física ⇒ Dinámica de la Rotación
Rotación de un sólido alrededor de un eje fijo


Expresiones de la dinámica de rotación
  • Ecuación fundamental de la dinámica de rotación
  • Momento de inercia


Impulso y momento angular
  • Teorema del impulso angular
  • Impulso angular
  • Momento angular o momento cinético
  • Conservación del momento angular


Energía de rotación
  • Energía cinética de un sólido en rotación
  • Trabajo de rotación

Rendimiento de una máquina

Física ⇒ Trabajo ⇒ Rendimiento de una máquina
Idealmente, se supone que todo el trabajo motor realizado en una máquina se convierte en trabajo resistente. En la práctica, no obstante, a causa de las fuerza de rozamiento, una parte del trabajo motor se pierde en forma de calor y no se aprovecha.
De esta manera, el trabajo motor se puede descomponer en dos sumandos: el trabajo útil transformado por la máquina en trabajo resistente y el trabajo disipado por rozamiento, o trabajo pasivo.

Wm = Wu + Wp
  • Wm = trabajo motor
  • Wu = trabajo útil
  • Wp = trabajo pasivo


Rendimiento de una máquina
El rendimiento expresa qué fracción del trabajo motor se aprovecha en forma de trabajo útil. Por definición, el rendimiento de una máquina es el cociente entre el trabajo útil y el trabajo motor (el que se aporta a la máquina). Se denota con la letra griega η (eta):

η =
Wu / Wm

El rendimiento es siempre inferior a la unidad, porque siempre se pierde una parte más o menos importante de energía por causa de rozamiento. El segundo principio de la termodinámica describe más detalladamente este fenómeno.


Polipasto - Ventaja Mecánica

Polipasto - Ventaja Mecánica

Física ⇒ Trabajo ⇒ Polipasto
polipasto
Para esta asociación de n poleas fijas y n poleas móviles la fuerza motriz que se aplica resulta:

F =
R / 2 n


En consecuencia, la ventaja mecánica será: VM = 2 n.


Asociación de una polea fija con varias móviles Rendimiento de una máquina

Asociación de una polea fija con varias móviles

Física ⇒ Trabajo ⇒ Asociación de una polea fija con varias móviles
En una asociación de este tipo, la fuerza motriz de cada polea móvil es la resistencia en la siguiente. La polea fija solo sirve para cambiar el sentido de la fuerza.

Asociación de una polea fija con varias móviles


El valor de la fuerza motriz F para una asociación de n poleas móviles resulta:

F =
R / 2n


De donde se deduce que la ventaja mecánica vale: VM = 2n.


Tornillo - Ventaja Mecánica Polipasto - Ventaja Mecánica

Tornillo - Ventaja Mecánica

Física ⇒ Trabajo ⇒ Tornillo
Si aplicamos una fuerza tangente a la cabeza de un tornillo, éste es capaz de vencer en la punta una fuerza resistente y en el equilibrio se cumple que el producto de la fuerza motriz por la longitud de la circunferencia de la cabeza del tornillo es igual al producto de la resistencia por el paso de rosca, h.

F · π D = R · h


tornillo


Ventaja mecánica

VM =
R / F
=
π D / h


Concluimos que, cuanto menor sea el paso de rosca, menor debe ser la fuerza aplicada para apretar o aflojar un tornillo, teniendo en cuenta que el número de vueltas deberá ser mayor.


Plano Inclinado Asociación de una polea fija con varias móviles

Plano Inclinado - Máquina Simple

Física ⇒ Trabajo ⇒ Plano Inclinado
Para simplificar nuestro modelo, ignoramos las fuerzas de rozamiento.

Si para subir un cuerpo por un plano inclinado aplicamos la fuerza motriz paralelamente al mismo, se cumple que el producto de la fuerza motriz por la longitud del plano inclinado es igual al producto de la resistencia, es decir, el peso del cuerpo, por la altura del plano inclinado.

F · l = R · h


plano inclinado máquina simple


Ventaja mecánica

VM =
R / F
=
l / h
=
1 / sen α

El plano inclinado nos permite subir un cuerpo a una cierta altura empleando una fuerza menor que su peso, con tanto menor esfuerzo cuanto mayor longitud tenga el plano.

"Las escaleras forman un ángulo de 30°, así que tendremos que aplicar la mitad de fuerza para subirla."
The Big Bang Theory - Primer Episodio



Polea Móvil Tornillo - Ventaja Mecánica

Polea Móvil

Física ⇒ Trabajo ⇒ Polea Móvil
En la polea móvil la fuerza motriz es igual a la mitad de la fuerza resistente.

polea móvil


Ventaja Mecánica
Aplicamos conservación del momento y nos sale esta ecuación:

F · 2r = R · r

F =
R / 2


Luego, ya que R/F = 2, se dice que la ventaja mecánica vale 2. Así, por ejemplo, cuando se aplica una fuerza de 50 N, podemos levantar un cuerpo de 100 N de peso. Para ayudar a aplicar la fuerza con más facilidad, asociamos una polea fija a la móvil.


Polea Fija Plano Inclinado - Máquina Simple

Polea Fija

Física ⇒ Trabajo ⇒ Polea Fija
La fuerza motriz es igual a la fuerza resistente.



F · f = R · r

F = R


De donde se ve que la ventaja mecánica R/F vale la unidad. Con la polea fija no se aplica menor fuerza, pero se facilita el trabajo ya que la fuerza motriz se aplica con comodidad y nos podemos ayudar, por ejemplo, con nuestro propio peso.


Palanca Polea Móvil
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