Problemas de Optimización - Derivadas

Matemáticas ⇒ Derivación ⇒ Optimización

Al haber desarrollado la técnica para calcular los extremos relativos de una función, podemos resolver problemas en los que se buscan ciertos valores óptimos bajo un cierto criterio. Esto se comprende mejor con un ejercicio.

Ejercicio resuelto Se necesita cubrir el perímetro de un terreno con una valla. Disponemos de 500 metros de material de vallado, y hay un edificio a un lado del terreno que no tiene por que vallarse. Queremos hallar las dimensiones del terreno que delimitan el mayor área posible. Solución Lo común en estos problemas es tener un par de funciones. Una de ellas será la función a optimizar y la otra será el criterio, la condición. Para problemas geométricos conviene bosquejar la situación para ayudar a traducir el problema en ecuaciones matemáticas: Queremos maximizar el área del rectángulo sabiendo que usaremos 500 metros de valla. Entonces, el área será la función a maximizar y la cantidad de valla la condición. Las dos ecuaciones que nos sales son: Maximizar : A (x, y) = x · y Condición : 500 = x + 2y Sabemos cómo encontrar los extremos relativos de una función si ésta depende de una variable. La función del área depende de dos variables, x e y; tratar de calcular un máximo directamente no funcionará. No obstante, si despejamos de la condición una variable cualquiera, podremos sustituirla dentro del área y ya seremos capaces de operar con una función de una sola variable. x = 500 – 2y ⇒ A (y) = (500 – 2y) · y = 500y – 2y2 Y derivamos para hallar los puntos críticos: A ' (y) = 500 – 4y A '' (y) = –4y Si igualamos la primera derivada a cero obtenemos el punto y = 125, la segunda derivada en este punto es negativa, así que el área es máxima para y = 125. Despejando para x, acabamos con x = 250. Así que la parcela tiene unas dimensiones de 250 m × 125 m, con 31250 m2.

Curiosidad: Problema de Herón No todos los problemas de optimización se resuelven mediante el análisis con derivadas. El problema de Herón es un caso elegante. Supongamos que estamos en el pueblo A y queremos ir a recoger agua en el río, que es una línea recta, y despúes partimos al pueblo B. ¿Cuál es el recorrido de menor distancia? Si lo planteamos de manera mecánica y sin sentimiento, podemos analizar el problema con números: En vista del dibujo, pensamos en la función del recorrido como: R (x) = √a2 + x2 + √(L – x)2 + b2 Que lo derive un académico. Cuando se pide una solución geométrica a un problema geométrico no hay por qué recurrir al método universal y tedioso de la derivación. Es más, el problema de Herón ignora los números, así que tracemos unas líneas. El punto A' es la "imagen espejo" del punto A. Uniendo el punto A' con el punto B mediante una línea recta (axiomáticamente es el recorrido más corto) solucionamos el problema. La idea es que cualquier "distancia espejo" entre el río y A o A' es la misma, y que cualquier otro camino hacia B es diferente a la recta, por lo que será mayor distancia. Si nos fijamos, el ángulo con el que se entra al río es el mismo con el que se sale. Curiosamente este problema coincide con el fenómeno de la reflexión de la luz en un espejo plano. Es como si la naturaleza buscase la optimización.

Regla de L'Hôpital