Regla de L'Hôpital - Ejercicios

Matemáticas ⇒ Derivación ⇒ Regla de L'Hôpital
Sean f y g dos funciones que cumplan una de las siguientes condiciones:
  • lim f (x) = lim g (x) = 0
  • lim f (x) = ± lim g (x) = ± ∞
Si existe lim
f ' (x) / g ' (x)
, sea finito o infinito, entonces:
lim
f (x) / g (x)
= lim
f ' (x) / g ' (x)


Esta regla sirve para resolver directamente indeterminaciones del tipo
0 / 0
o
±∞ / ±∞
, veamos las posibilidades en los siguientes ejercicios resueltos:


Indeterminaciones del tipo
0 / 0
o
±∞ / ±∞


  • lim x→2
    (x – 2) 3 / sen (x – 2)
    =
    lim x→2
    3 · (x – 2) 2 / cos (x – 2)
    =
    0 / 1
    = 0

  • lim x→∞
    3x 2 – 5 / ln x
    =
    lim x→∞
    6 · x / 1 / x
    =
    lim x→∞
    6 · x 2 = ∞



Indeterminaciones del tipo ∞ – ∞
Hay que realizar la resta para que la indeterminación se convierta en una de las anteriores.

  • lim x→0+
    1 / sen x
    –
    1 / x
    =
    lim x→0+
    x – sen x / x sen x
    =
    lim x→0+
    1 – cos x / sen x + x cos x
    =
    lim x→0+
    sen x / cos x + cos x – x sen x
    =
    0 / 2
    = 0



Indeterminaciones del tipo 0 · (±∞)
Podemos transformar el límite en dos maneras distintas:

  • lim x→∞
    x · sen
    3 / x
    =
    lim x→∞
    sen
    3 / x
    /
    1 / x
    =

    =
    lim x→∞
    cos
    3 / x
    ·
    – 3 / x2
    /
    – 1 / x2
    =
    lim x→∞
    3 cos
    3 / x
    = 3



Indeterminaciones del tipo 1±∞, 00 y ∞0
Se llamaría L al límite pedido y luego se toman logaritmos:

  • lim x→0
    (x + 1)1/2x

L =
lim x→0
(x + 1)1/2x

ln L = ln
lim x→0
(x + 1)1/2x


ln L =
lim x→0
ln (x + 1)1/2x


ln L =
lim x→0
1 / 2x
ln (x + 1)
=
lim x→0
ln (x + 1) / 2x
=

=
lim x→0
1 / (x + 1) / 2
=
lim x→0
1 / 2x + 2
=
1 / 2


  • ln L =
    1 / 2
      ⇒   L = e1/2 = √e



Teorema del valor medio del cálculo diferencial Problemas de Optimización