Producto de Matrices

Matemáticas ⇒ Matrices ⇒ Producto de Matrices

Definición
Consejo, seguir leyendo.
Dadas dos matrices A ∈ M_{m × n} y A ∈ B_{n × p}, se define la matriz producto de A por B y se denota A · B o AB a la matriz: AB ∈ M_{m × p}, con cada elemento de AB: ab_ij = n ∑ k=1 a_ik b_kj

El producto de matrices solo está definido para matrices tales que el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda.

A    ·    B   =   AB
(m × n) · (n × p) = (m × p)
La fórmula dice que el elemento de la fila i y la columna j de la matriz producto es igual a la suma de los producto de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B.


Ejemplo

4	2	5
1	8	9
3	7	6
(3x3)

·

2	5
4	3
1	6
(3x2)

=

4 · 2 + 2 · 4 + 5 · 1	4 ·5 + 2 · 3 + 5 · 6
1 · 2 + 8 · 4 + 9 · 1	1 · 5 + 8 · 3 + 9 · 6
3 · 2 + 7 · 4 + 6 · 1	3 · 5 + 7 · 3 + 6 · 6
(3x2)

=

21	56
43	83
40	72
(3x2)

Propiedades del producto de matrices cuadradas

• No Conmutativo
A · B ¿=? B · A


• Asociativa
A · (B · C) = (A · B) · C


• Elemento Neutro
A · I_n = I_n · A = A ; siendo I_n la matriz identidad, si se sobreentiende su dimensión se denota I


• Distributiva respecto a la suma de matrices
A · (B + C) = A · B + A · C
(A + B) · C = A · C + B · C


• Asociatividad mixta
k(A · B) = (kA) · B = A · (kB), si k ∈ ℝ

Producto por escalares

Matriz Inversa - Definición