Método general para calcular extremos y puntos de inflexión

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Si para una función f se verifica:

f ' (x0)  ;  f '' (x0)  ;  f ''' (x0) = 0  ; ··· ;  f (n – 1) (x0) = 0  ; 

pero f n (x0) ≠ 0, entonces:
  • Si n es par; f tiene un extremo relativo en x0, que es máximo relativo si f n (x0) < 0 o mínimo si f n (x0) > 0.
  • Si n es impar; f tiene un punto de inflexión en x0.


Ejercicio resuelto
Hallar extremos y/o puntos de inflexión de la función: f (x) = x5 – 8

f ' (x) = 5·x4   ;   x = 0   ⇒   f ' (0) = 0
Tenemos un punto crítico en x = 0, profundicemos para saber si es extremo relativo o punto de inflexión:
  • f '' (x) = 20·x3   ⇒   f '' (0) = 0
  • f ''' (x) = 60·x2   ⇒   f ''' (0) = 0
  • f 4 (x) = 120·x   ⇒   f 4 (0) = 0
  • f 5 (x) = 120   ⇒   f 5 (0) = 120 ≠ 0

Concluimos que la función f tiene un punto de inflexión en x = 0.



Puntos de inflexión Teorema de Rolle