Producto Mixto o Triple Producto Escalar

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Definición
El producto mixto de tres vectores a→, b→ y c→ se denota [ a→, b→, c→ ] y se define como:

[ a→, b→, c→ ] = a→ · (b→ × c→)

Propiedades del Producto Mixto

• Distributiva, respecto de la suma de vectores:
[ a→ + a'→, b→, c→ ] = [ a→, b→, c→ ] + [ a'→, b→, c→ ]


• Asociatividad mixta:
[ k a→, b→, c→ ] = [ a→, k b→, c→ ] = [ a→, b→, k c→ ] = k [ a→, b→, c→ ]


• Cambio de signo si se permutan dos de los vectores
[ a→, b→, c→ ] = – [ b→, a→, c→ ] = – [ c→, b→, a→ ] = – [ a→, c→, b→ ]


• El producto mixto de tres vectores es nulo sí y solo si son coplanarios (o sea, están en el mismo plano).

Expresión Analítica
Si referimos los vectores a→, b→ y c→ a los vectores unitarios i, j y k, podemos acabar calculando el producto mixto con la ayuda de un determinante.

[ a→, b→, c→ ]  =  a→ · (b→ × c→) =


=    ( a_x i→ + a_y j→ + a_z k→ )   ·   

by bz cy cz i→   –    bx bz cx cz j→   +   bx by cx cy k→

  =


=   a_x

by	bz
cy	cz

 –   a_y

bx	bz
cx	cz

 +   a_z

bx	by
cx	cy

   =


=   

ax	ay	az
bx	by	bz
cx	cy	cz

[ a→, b→, c→ ] = ax ay az bx by bz cx cy cz

Interpretación Geométrica del Producto Mixto
Dados tres vectores cualquiera a→, b→ y c→, determinan un paralelepípedo si se colocan en el mismo origen.

Tomando como base la cara determinada por b→ y c→, que tiene por área:

ÁREA _base = | b→ × c→ |,

la altura del paralelepípedo podemos escribirla (aprovechando que b→ × c→ es perpendicular a la base):

h = a · |cos φ|

Tomamos el valor absoluto del coseno ya que ignoramos el sentido de b→ × c→. Entonces:

VOLUMEN _{paralelepípedo} = ÁREA _base · h = | b→ × c→ | · a · |cos φ| = | a · ( b→ × c→ ) | = | [ a→, b→, c→ ] |

• Concluimos que el valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo que determinan.

Nota: se sabe que la relación entre volúmenes del paralelepípedo y el tetraedro determinado por tres vectores es: V _tetraedro = 1/6 V _{paralelepípedo}, lo cual hace que el producto mixto sea útil con los cálculos.

Propiedades del Producto Vectorial

Momento de un Vector con respecto a un Punto