Extremos relativos - Derivada

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Si existe derivada de la función f en un punto x0 se dice que:
  • Si f ' (x0) = 0 y f '' (x0) < 0; f tiene un máximo relativo en x0.
  • Si f ' (x0) = 0 y f '' (x0) > 0; f tiene un mínimo relativo en x0.


Anteriormente, estudiando la monotonía, veíamos que cuando el valor de la derivada era positivo la función era estrictamente creciente y viceversa... Ahora, cuando advertimos que la derivada en un punto es igual a cero, concluimos que la recta tangente a f en ese punto es horizontal.
Aparte, para distinguir entre si es un extremo máximo o mínimo:
  • f '' (x0) < 0   ⇒   f ' es decreciente en x0   ⇒   las rectas tangentes disminuyen su inclinación a medida que aumenta x, lo que implica un máximo relativo en x0
  • f '' (x0) > 0   ⇒   f ' es creciente en x0   ⇒   las rectas tangentes aumentan su inclinación a medida que aumenta x, lo que implica un mínimo relativo en x0





Nota: una función no tiene por qué tener un extremo en un punto si su derivada en ese punto es cero y su segunda derivada también. Para más información, estudia el método general para calcular extremos y puntos de inflexión.


Monotonía Concavidad de una función