Integración por partes - Ejercicios

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∫   u · dv = u · v –   ∫   v · du

Demostración
Partimos de la derivada de un producto y vamos operando:

(u · v) ' = u' · v + u · v'

∫ (u · v) ' = ∫ u' · v + ∫ u · v'

u · v = ∫ u' · v + ∫ u · v'

Y despejamos el último término:

∫ u · v' = u · v – ∫ u' · v

Aunque se puede escribir así:

∫   u · dv = u · v –   ∫   v · du

Que se recuerda fácilmente con la siguiente regla mnemotécnica:

Un día Vi Una Vaca Vestida de Uniforme

Ejercicio resuelto ∫ (3x – 1) ex dx u = 3x – 1   ⇒   du = 3dx dv = ex dx   ⇒   v = ex

Ejercicio interesante ∫ ex sen x dx u = ex   ⇒   du = ex dx dv = sen x dx   ⇒   v = – cos x ∫ ex sen x dx = – ex cos x + ∫ ex cos x dx Seguimos integrando por partes: u = ex   ⇒   du = ex dx dv = cos x dx   ⇒   v = sen x ∫ ex sen x dx = – ex cos x + ex sen x – ∫ ex sen x dx , Curiosamente, el primer y último término coinciden; así que reescribimos la ecuación: ∫ ex sen x dx + ∫ ex sen x dx = – ex cos x + ex sen x 2 ∫ ex sen x dx = – ex cos x + ex sen x ∫ ex sen x dx = – ex cos x + ex sen x / 2 + C

Tabla de integrales inmediatas

Descomposición de una fracción