Descomposición de una fracción algebraica en fracciones simples

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Sea una fracción algebraica
P (x) / Q (x)
, en la que el grado del numerador P (x) es menor que el polinomio Q (x) del denominador, y en la que Q (x) permite una factorización:

Q (x) = (x – a)n (x – b)m ···


entonces existen números reales A1, A2, ···, An,B1, B2, ···, Bm, ··· , tales que:

P (x) / Q (x)
=
P (x) / (x – a)n (x – b)m ···
=
A1 / x – a
+
A2 / (x – a)2
+ ··· +
An / (x – a)n
+

+
B1 / x – b
+
B2 / (x – b)2
+ ··· +
Bm / (x – b)m
+ ···


Es mejor visionar un ejemplo para aprender la descomposición.



Ejercicio resuelto

Descomponer la fracción:

x + 4 / x3 + 4x2 + 5x + 2



Dado que el grado del denominador es mayor que el del numerador, y que se puede hacer la factorización:
  • x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x + 2) · (x + 1)2

entonces podemos descomponer la fracción de la forma:

x + 4 / x3 + 4x2 + 5x + 2
=
A / x + 2
+
B / x + 1
+
C / (x + 1)2


En el cálculo de los números A, B y C, imponemos el mínimo común múltiplo en el denominador:

x + 4 / (x + 2) · (x + 1)2
=
A · (x + 1)2 + B · (x + 2) · (x + 1) + C · (x + 2) / (x + 2) · (x + 1)2


⇒   x + 4 = A · (x + 1)2 + B · (x + 2) · (x + 1) + C · (x + 2)


Ahora damos valores "estratégicos" a x para hallar A, B y C:
  • x = –1   ⇒   –1 + 4 = A · 0 + B · 0 + C · 1   ⇒   C = 3
  • x = –2   ⇒   –2 + 4 = A · (–1)2 + B · 0 + C · 0   ⇒   A = 2
  • x = 0   ⇒   0 + 4 = A · 1 + B · 2 + C · 2   ⇒   B = –2


Así, descomponemos la fracción algebraica en fracciones simples:

x + 4 / x3 + 4x2 + 5x + 2
=
x + 4 / (x + 2) · (x + 1)2
=
2 / x + 2
+
–2 / x + 1
+
3 / (x + 1)2





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