Velocidad Media e Instantánea

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Velocidad Media
Consideremos una partícula puntual móvil que en un intervalo de tiempo Δt pasa desde la posición A a la posición B, siguiendo la trayectoria Δs. Los vectores de posición de A y B son respectivamente r₁→ y r₂→. El vector desplazamiento es Δr→.

Por definición, la velocidad media es el cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo transcurrido.
La velocidad media v_m→ es un vector cuya dirección y sentido son los mismos que los del vector desplazamiento, como se ve en la imagen.

• v_m→ =
  desplazamiento (vector) / tiempo (escalar)
  =
  Δr→ / Δt

La velocidad media no refleja claramente el comportamiento del móvil a lo largo de su trayectoria Δs. Así, cuando decimos que un ciclista ha recorrido una etapa con una velocidad media de 25 km/h, no aseguramos que ésta ha sido en todo momento su velocidad real. Por el contrario, es natural suponer que en muchos instantes ha ido a mayor velocidad y que en otros se ha desplazado a menos de 25 km/h: solo es una velocidad media que compensa los valores menores con los mayores.

Velocidad Instantánea
La velocidad instantánea es la velocidad que el móvil posee concretamente en una posición determinada de su recorrido. Ésta es la velocidad que en cada momento podemos leer en el velocímetro de un automóvil, por ejemplo.
Para determinar el valor de la velocidad instantánea de la partícula en el punto A empezamos por suponer que el intervalo de tiempo que dura el movimiento es menor que el transcurrido cuando determinábamos la velocidad media. Lógicamente, el móvil se habrá alejado de menos de A y, en lugar de hallarse en el punto B, ahora estará, por ejemplo, en B₁. Si aún reducimos más el intervalo de tiempo, la partícula se hallará en B₂. De este modo podemos reducir cuanto queramos el intervalo Δt y cada B estará más cerca de A y será menor el vector desplazamiento. Matemáticamente decimos que Δt tiende a ser cero y lo escribimos así: Δt → 0.

Cuando Δt sea súmamente pequeño, la velocidad media se habrá convertido en la velocidad instantánea en A. En consecuencia, definimos ésta del siguiente modo:
La velocidad instantánea es el valor límite que toma la velocidad media cuando el tiempo transcurrido tiende a ser cero. Matemáticamente la expresamos así:

• v→ =
  lim Δt → 0
  v_m→ =
  lim Δt → 0
  Δr→ / Δt

La velocidad instantánea en A es un vector cuya dirección es tangente en A a la trayectoria y su sentido es el del movimiento, tal cual en la imagen.
Si usamos el cálculo diferencial, podemos definir la velocidad instantánea de una manera útil, sencilla y formal:

• v→ =
  dr→ / dt

Movimiento de una Partícula

Aceleración Media e Instantánea