Principios de conservación

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Los siguientes principios de conservación solo son válidos dentro de sistemas de referencia inerciales.

Conservación de la Cantidad de Movimiento
La cantidad de movimiento total p→ de un sistema de partículas se mantiene constante si la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas es cero. Esto es simplemente la Primera Ley de Newton.

Conservación del Momento Angular
El momento angular o cinético L→ de un sistema de partículas se conserva si la resultante de los momentos de las fuerzas exteriores es nula.

Conservación de la Energía Mecánica
La energía E total de una partícula no varía si sobre ella solo actúan fuerzas conservativas (por ejemplo: gravitacionales, eléctricas...).


Analogía dinámica entre rotación y traslación

Analogía dinámica entre rotación y traslación

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Analogía dinámica entre rotación y traslación
Traslación rectilíneaRotación
MasamMomento de inerciaI
FuerzaFMomento de la fuerzaM
Cantidad de movimientopMomento angular o cinéticoL
DesplazamientosÁngulo descritoθ
VelocidadvVelocidad angularω
AceleraciónaAceleración angularα


Traslación rectilíneaRotación
v =
ds / dt
velocidadω =
dθ / dt
a =
dv / dt
aceleraciónα =
dω / dt
F = m · afuerza / momentoM = I · α
W = ∫ F dstrabajoW = ∫ M dθ
E =
1 / 2
m · v2		energía cinéticaE =
1 / 2
I · ω2
p = m · vmomento lineal / cinéticoL = I · ω



Dinámica de rotación del sólido rígido Principios de conservación

Dinámica de rotación del sólido rígido

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Dinámica de rotación del sólido rígido
Si combinamos la ecuación del momento angular de un sólido rígido:
  • L = I · ω
Con el teorema del momento angular para un sistema de partículas:
  • dL / dt
    = M


Obtenemos la ecuación fundamental de la dinámica de rotación del sólido rígido:

M = I · α

  • M = momento o par que actúa en el sólido
  • I = momento de inercia del sólido rígido respecto al eje de giro
  • α = aceleración angular del sólido



Momento Angular del Sólido Rígido en la Rotación Analogía dinámica entre rotación y traslación

Momento Angular del Sólido Rígido en la Rotación

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Momento Angular del Sólido Rígido en la Rotación
El momento angular o cinético de una partícula que se mueve con la velocidad vi→, respecto del punto O, se define por el producto:

Li,0→ = ri→ × pi→
  • ri→ = vector de posición de la partícula, con origen en el punto O
  • pi→ = cantidad de movimiento (o momento lineal) de la partícula


momento angular partícula



El momento de un vector con respecto a un eje es la proyección sobre dicho eje del momento del vector con respecto a cualquier punto del mismo. Lo que resulta en la siguiente expresión para un sólido rígido.

L→ = I · ω→
  • I = momento de inercia del sólido rígido respecto del eje de giro
  • ω→ = velocidad angular del sólido rígido
momento angular sólido rígido



Trabajo de Rotación Dinámica de rotación del sólido rígido

Trabajo de Rotación

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Trabajo de Rotación
El trabajo en la rotación es igual al producto del momento de la fuerza exterior aplicada por el ángulo girado, en radianes.

W1 - 2 = θ2 ∫ θ1 Mo dθ = Mo (θ2 – θ1)



El trabajo realizado por un momento exterior aplicado en un sólido rígido es igual a la variación de su energía cinética de rotación.

Mo (θ2 – θ1) =
1 / 2
I ω22 –
1 / 2
I ω12



La potencia en la rotación se define: P =
dW / dt
= Mo ·
dθ / dt
= Mo · ω


Demostración

trabajo de rotación


Cuando un cuerpo adquiere una energía cinética, dicha energía debe proceder bien de otra energía o bien de un trabajo aplicado al cuerpo. La componente tangencial Ft es la componente de F que solo realiza trabajo, ya que Fn es perpendicular a la trayectoria. En un desplazamiento ds, el trabajo realizado por la fuerza F es:

dW = F→ · ds = F sen φ ds

ds = r dθ   ⇒   dW = F sen φ · r · dθ


Como F · r · sen φ es el momento de la fuerza F respecto del punto O, se obtiene para el trabajo elemental: dW = Mo dθ


Energía Cinética de Rotación Momento Angular del Sólido Rígido

Energía Cinética de Rotación

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Energía Cinética de Rotación
Energía cinética de un sólido rígido en rotación

ECrot =
1 / 2
I ω2

  • I = momento de inercia del sólido rígido respecto al eje de giro
  • ω = velocidad angular del cuerpo



Energía cinética de un sólido que se traslada y gira a la vez

ECrot =
1 / 2
m v2 +
1 / 2
I ω2

  • m = masa total del sólido rígido
  • v = velocidad de traslación = velocidad lineal del centro de masas

Esta fórmula vale para cualquier movimiento de un sólido rígido, excepto si tienes en cuenta efectos relativistas, entonces: buena suerte.


Radio de Giro Trabajo de Rotación

Radio de Giro - Ejemplos

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Radio de Giro - Ejemplos
El radio de giro de un cuerpo respecto de un eje es la distancia de un punto material cuya masa es igual a la del cuerpo y cuyo momento de inercia es igual al del cuerpo.

I = Σ (mi Ri2) = m Rg2

Rg = √
I / m



El radio de giro no debe confundirse con el radio geométrico de un sólido rígido. Veamos un par de ejemplos.

Para el cilindro macizo, el radio de giro es:

Rg = √
I / m
= √
1/2 · m R2 / m
=
R / √2


Para una esfera maciza:

Rg = √
2/5 · m R2 / m
= √
2 / 5
· R



Momento de Inercia de una Esfera Maciza Energía Cinética de Rotación

Momento de Inercia de una Esfera Maciza

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Momento de Inercia de una Esfera Maciza - Cálculo
El momento de inercia de una esfera maciza homogénea respecto de cualquier eje que pase por su centro es:

I =
2 / 5
m R2



Momento de Inercia de un Cilindro Macizo Radio de Giro

Momento de Inercia de un Cilindro Macizo - Cálculo

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Momento de Inercia de un Cilindro Macizo - Cálculo
El momento de inercia de un cilindro macizo homogéneo respecto de su eje de simetría es:

I =
1 / 2
m R2



Cálculo
momento inercia cilindro

Se toma como volumen elemental el de una capa cilíndrica de espesor dr, a una distancia r del eje de giro. El volumen es dV = 2πr · L · dr, correspondiente a una masa: dm = 2πrL · ρ · dr, y su momento de inercia: dI = r2 · dm. Entonces, el momento de inercia total del cilindro se obtiene integrando:

I = R ∫ 0 r2 · 2·π·r·L·ρ dr = 2·π·L·ρ R ∫ 0 r3 dr = 2·π·L·ρ
R4 / 4

Y como el volumen del cilindro es πR2 · L y la masa m = πR2 · L · ρ, el momento de inercia para el cilindro macizo resulta:

I =
1 / 2
m R2


Observación: este momento de inercia no depende de la longitud del cilindro, es decir, podemos variar la altura del cilindro a nuestro antojo que el momento sigue siendo el mismo. Por eso se considera equivalente con el momento de inercia de un disco.


Momento de Inercia de una Barra Momento de Inercia de una Esfera Maciza

Momento de Inercia de una Barra - Cálculo

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Momento de Inercia de una Barra - Cálculo
El momento de inercia de una barra homogénea de masa m, longitud L y sección s, respecto de un eje que pasa por el extremo perpendicular a la barra es:

I =
1 / 3
· m L2



Cálculo

momento inercia barra


A una distancia x del eje de giro se toma un elemento diferencial de volumen: dV = s · dx, con masa elemental: dm = ρ · s · dx. Entonces, el momento de inercia que le corresponde a esta masa diferencial es dI = x2 · dm. Así que el momento de inercia total de la barra se obtiene por integración:

I = L ∫ 0 x2 · ρ · s · dx = ρ · s L ∫ 0 x2 dx = ρ · s
x3 / 3
L 0 =
1 / 3
ρ s L3

Y como el volumen de la barra es s · L y la masa, m = ρ · s · L, se obtiene para el momento de inercia de la barra:

I =
1 / 3
· m L2



Eje que pasa por el centro de masas
El momento de inercia de una barra respecto a un eje que pasa por el centro de masas se puede calcular aplicando el teorema de Steiner en el resultado anterior.

I = ICM + m (
L / 2
)2


ICM = I – m
L2 / 4
=
1 / 3
m L2 –
1 / 4
m L2

ICM =
1 / 12
m L2



Teorema de Steiner Momento de Inercia de un Cilindro Macizo

Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
Enunciado
El momento de inercia de un cuerpo I respecto de un eje paralelo a cualquier otro eje que pase por el centro de masas es:

I = ICM + m · d2

teorema de steiner
  • m = masa del cuerpo
  • d = distancia entre los dos ejes paralelos
  • ICM = momento de inercia del cuerpo respecto al eje que pasa por el centro de masas




Momento de Inercia - Definición Momento de Inercia de una Barra

Momento de Inercia - Definición

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ Momento de Inercia - Definición
Por definición, el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje es el siguiente sumatorio:

I = m1 · r12 + m2 · r22 + m3 · r32 + ··· = Σ (mi · ri2)

  • mi = masa de una partícula i del sólido rígido
  • ri = distancia de la partícula i al eje que se estudia el momento de inercia

momento de inercia


Esta magnitud no depende de la velocidad de giro del cuerpo, pero caracteriza las propiedades inerciales del cuerpo en rotación. Depende de cómo esté distribuida la masa respecto del eje de rotación. Las partículas que estén más lejos del eje tienen una aportación mayor que las que están más cerca. Por eso, en un sólido rígido determinado, a cada eje de rotación le puede corresponder un momento de inercia diferente.

Si tratamos al cuerpo como un sólido continuo, se suele escribir:

I =   ∫   r2 dm



Movimiento del sólido rígido en un eje fijo Teorema de Steiner

Movimiento del sólido rígido en un eje fijo

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Todas las partículas de un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo llevan, en un instante dado, la misma velocidad angular. Si se elige una partícula P que describe una circunferencia de radio R, se define la velocidad angular como:

ω =
dθ / dt
(rad/s)
  • dθ = diferencial de ángulo en radianes que se recorre en un tiempo dt

Además, la partícula P recorre un arco de circunferencia ds con una velocidad v, entonces:

dθ =
ds / R
=
v · dt / R

Lo que resulta en:

v =
dθ / dt
· R = ω · R

La expresión v = ω · R pone la velocidad lineal, o de traslación en torno al eje, en términos de la velocidad angular. Es obvio que la velocidad lineal no es la misma para todas las partículas del sólido rígido ya que depende de su distancia al eje, R.

Pero la velocidad angular tampoco es constante, porque puede aparecer una aceleración angular debida a agentes exteriores. La aceleración angular no es más que la variación de la velocidad angular en el tiempo:

α =
dω / dt
(rad/s2)

Si la aceleración angular es constante y el cuerpo parte del reposo, se puede expresar la velocidad angular así:

ω = α · t


Y si se deriva la ecuación de la velocidad lineal, v = ω · R:

dv / dt
=
dω / dt
· R   ⇒   at = α · R



Carácter vectorial
La velocidad angular tiene carácter vectorial; la dirección de dicho vector es la del eje de rotación y su sentido es el del avance del tornillo que gira con el cuerpo.

velocidad angular sólido rígido


v→ = ω→ × r→


Análogamente a las velocidades, también se puede relacionar vectorialmente las aceleraciones:

aceleración angular sólido rígido


a→t = α→ × r→



El Sólido Rígido - Definición Momento de Inercia - Definición

El Sólido Rígido - Definición

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido ⇒ El Sólido Rígido - Definición
Un sólido rígido es cualquier sistema de puntos materiales que mantienen invariables sus distancias relativas.

Lo que se quiere decir es que el sólido rígido es un cuerpo cuya forma no cambia en el movimiento.
Los sólidos rígidos pueden experimentar movimientos de traslación y de rotación. El movimiento de traslación implica que todas las partículas del sólido llevan la misma velocidad v→; entonces sus trayectorias rectilíneas o curvilíneas son iguales.

traslación sólido rígido



En el movimiento de rotación las partículas del sólido rígido describen trayectorias circulares con centro en el eje de rotación, y situado en planos perpendiculares a dicho eje.
rotación sólido rígido


En un instante determinado, todas las partículas del sólido se mueven con la misma velocidad angular ω; pero la velocidad lineal o de traslación de las partículas en torno al eje aumenta con la distancia al eje. Las únicas partículas que permanecen en reposo en este movimiento son las que coinciden con el eje de rotación.

velocidad angular sólido rígido


El movimiento de rotación se caracteriza por la dirección que tiene el eje de giro y por el valor de la velocidad angular ω del sólido.


Movimiento del sólido rígido en un eje fijo

Rotación del Sólido Rígido

Física ⇒ Rotación del Sólido Rígido

Teorema del Momento Angular (sistema de partículas)

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Teorema del Momento Angular
El teorema del momento angular afirma que el momento total de las fuerzas externas respecto de un punto fijo es igual a la derivada respecto del tiempo del momento angular total del sistema, respecto de dicho punto:

d L→0 / dt
= M→0 ext

De acuerdo con la ecuación, el momento angular de un sistema de partícualas se conserva siempre que el momento total de las fuerzas externas sea nulo. Esto nos lleva al teorema de conservación del momento angular.


Momento Angular de un Sistema de Partículas

Momento Angular de un Sistema de Partículas

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El momento angular o cinético de un sistema de partículas respecto de un punto es la sumas del momento angular de cada partícula del sistema respecto de dicho punto:

L→0 = Σ L→0i = Σ (r→i × mv→i)


Análogamente a la energía cinética, podemos hallar el momento angular de un sistema de partículas respecto de un punto, si tomamos el centro de masas como referencia:

L→0 = L→0CM + L→C

  • L→0 = momento angular del sistema respecto del punto O
  • L→0CM = momento angular del centro de masas respecto del punto O
  • L→C = momento angular del sistema respecto del centro de masas



Teorema de las Áreas Teorema del Momento Angular

Teorema de las Áreas - Momento Angular

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En el movimiento de un cuerpo bajo la acción de una fuerza central su momento angular es constante y, además, el vector de posición respecto del centro de la fuerza barre áreas iguales en tiempos iguales.



Segunda ley de Kepler
segunda ley de kepler


El señor Kepler observó el sistema solar y de sus resultados experimentales se convenció: el radio vector que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.


Demostración
Teniendo en cuenta la relación entre el área y el producto vectorial, calculemos el área dA barrida por el vector de posición r→ en un intervalo de tiempo dt:

área barrida


Área del paralelogramo = |r→ × dr→|

Área barrida por r→ = dA =
1 / 2
|r→ × dr→|

Por la definición de velocidad, dr→ = v→ · dt:

dA =
1 / 2
|r→ × v→ · dt|

Así que el área barrida en la unidad de tiempo (velocidad areolar) se deduce de esta última ecuación:
dA / dt
=
1 / 2
|r→ × v→|

Como L = |r→ × v→|, la velocidad areolar expresada en función del momento angular es:

dA / dt
=
1 / 2
L / m

Dado que el momento angular es constante así como la masa del objeto que está en órbita, concluímos:

La velocidad areolar de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central es constante.



Conservación del Momento Angular de una Partícula Momento Angular de un Sistema de Partículas

Conservación del Momento Angular de una Partícula

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Conservación del Momento Angular de una Partícula
Según la ecuación del teorema del momento angular:

dL→O / dt
= r→ × F→

si el momento de la fuerza resultante es nulo, el momento angular de la partícula es constante.

Un caso interesante en el que se conserva el momento angular es el de las fuerzas centrales, es decir, las fuerzas cuya línea de acción pasa por un punto fijo y cuyo módulo depende de la distancia a dicho punto. En las fuerzas centrales el momento angular respecto al centro de fuerzas es constante, porque el vector de posición y el vector fuerza se encuentra en la misma dirección (son paralelos) y, por tanto, el producto vectorial r→ × F→ es nulo.

fuerzas atractivas y repulsivas



Teorema del Momento Angular Teorema de las Áreas

Teorema del Momento Angular

Física ⇒ Dinámica de los sistemas de partículas ⇒ Teorema del Momento Angular
La derivada del momento angular de una partícula respecto del tiempo con relación a un punto fijo O, es igual al momento de la resultante respecto del mismo punto O.

dL→O / dt
= r→ × F→



Demostración
Hay que estudiar la derivada del momento angular respecto del tiempo, teniendo en cuenta la regla de la derivada de un producto:

dL→O / dt
=
d / dt
(r→ × p→) =
dr→ / dt
× p→ + r→ ×
dp→ / dt


dL→O / dt
= v→ × p→ + r→ × F→

El producto vectorial de v→ por p→ es nulo, ya que son paralelos. Entonces:

dL→O / dt
= r→ × F→ = M→O

El vector M→O es el momento de la fuerza resultante respecto del punto O.


Momento Angular de una Partícula Conservación del Momento Angular de una Partícula
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